Wenn ihr den Vater nicht ausfindig machen könnt, dann schauts zunächst einmal schlecht aus. Sollte der Vater doch "gefunden" werden und er willigt der Aussreise nicht ein, dann belibt der Weg das alleinige Sorgerecht zu beantragen. Die Changen wären bei dir ganz gut, da der Vater keinen Unterhalt bezaht.
Ich war in einer vergleichbaren Situation. Der Vater wollte die Reisegenehmigung nicht unterschreiben. Darauf hin hat meine Freundin das alleinige Sorgerecht beantragt. Der Jugendamt hat auch gleich den passendne Anwalt genannt. Der hat das Ganz innerhalb von 4 Wochen über die Bühne gezogen. Ein "richtige Verhandlung hat nicht wirklich stattgefunden, da der Reichter dem Vater in der ersten Sitzung klar gemacht hat, dass er nur dann eine Change hat, wenn er für die letzten 4 Jahre den Unterhalt nachzahlt.
Wenn es dir ernst mit deiner Freundin ist, dann würde ich gleich diesen Weg beschreiten. Ansonsten wirst Du immer auf das Wohlwollen des leiblichen Vaters angewiesen sein.